Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．E是BC上的一点，连结AE、DE，且△ADE≌△ECD．
（1）求证：△AED是等腰直角三角形；
（2）若△AED的面积是

25

2

，直角梯形ABCD的面积是

49

2

，求△ABE的周长．

Answer 1

分析：（1）等腰直角三角形的判定问题，先求出两边相等，再求一直角即可；
（2）有三角形△AED的面积，直角梯形ABCD的面积，求出△ABE，在直角三角形中，运用勾股定理求出各边长．

解答：（1）证明：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，
∴∠BAE=∠DEC，∠AEB=∠EDC，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；

（2）解：∵△AED是等腰直角三角形，
∴S_△AED=

1

2

AE²，
∴

25

2

=

1

2

AE²，
∴AE=5，
∵△ABE≌△ECD，△AED的面积是

25

2

，直角梯形ABCD的面积是

49

2

，
∴2S_△ABE=S_ABCD-S_△AED，
∴S△ABE=

49 2 - 25 2

2

=6，
即

1

2

AB•BE=6，
则2AB•BE=24，
∵（AB+BE）²=AB²+2AB•BE+BE²=AB²+BE²+2AB•BE=AE²+24=25+24=49，
∴AB+BE=7，
∴△ABE的周长是=7+5=12．

点评：考查了等腰三角形的性质及判定，能够运用勾股定理求解一些简单的面积问题．