Question

如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标。

Answer 1

（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得

∴抛物线的解折式为

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为   即 E点的坐标（，）又∵点E在直线上 ∴  解得（舍去），∴E的坐标为（4，3）

（Ⅰ）当A为直角顶点时

过A作AP₁⊥DE交x轴于P₁点，设P₁（a,0）   易知D点坐标为（－2，0）    由Rt△AOD∽Rt△POA得

即，∴a＝   ∴P₁（，0）

（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P₂点坐标为（，0）

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P₃（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP    Rt△AOP∽Rt△PFE  

由得 解得，

∴此时的点P₃的坐标为（1，0）或（3，0）

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）

（Ⅲ）抛物线的对称轴为…（9分）∵B、C关于x＝对称    ∴MC＝MB

要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大 

由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．易知直线AB的解折式为∴由  得 ∴M（，－）……