Question

如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O．
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系．
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系．

Answer 1

解：（1）如本题图，∠A为⊙O中所对的圆周角，由圆周角定理得∠A=∠BOC．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．

（2）由（1）得∠BIC=90°+∠A=90°+×∠BOC=90°+∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的关系是∠BIC=90°+∠BOC．
分析：（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠A与∠BOC的数量关系；根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理确定∠A与∠BIC的数量关系．
（2）根据（1）中的数量关系消去∠A即可得到两角之间的关系．
点评：此题中可以熟记：当O是外心时，则∠BOC=∠A；当I是内心时，则∠BIC=90°+∠A．