Question

如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AC、CB延长线上的点，且CD=BE，连接DB并延长DB交AE于点F．
求证：DA²=DB•DF．

Answer 1

分析：欲证DA²=DB•DF，可证△ADB∽△FDA，通过观察发现两个三角形证∠DBA=∠DAF，∠ADB=∠FDA即可．

解答：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠ABC，AB=BC，（1分）
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠DCB=∠EBA，（1分）
在△DCB与△EBA中，
∵

DC=EB ∠DCB=∠EBA AB=BC

，
∴△DCB≌△EBA，（2分）
∴∠DBC=∠EAB（，1分）
∵∠CBA=∠CAB，
∴∠CBA+∠DBC=∠CAB+∠EAB，
即∠DBA=∠DAF，（1分）
又∵∠ADB=∠FDA，
∴△ADB∽△FDA，（1分）
∴

DB

DA

=

DA

DF

，（1分）
∴DA²=DB•DF．（2分）

点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．