Question

已知a，b，c为有理数，且多项式x³+ax²+bx+c能够被x²+3x-4整除．
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试比较a，b，c的大小．

Answer 1

考点：整式的除法

专题：计算题

分析：（1）由于多项式x³+ax²+bx+c能被多项式x²+3x-4整除，则说明x²+3x-4=0，求出的x也能使x³+ax²+bx+c=0，从而得到关于a、b、c的两个等式，对两个等式变形，可得4a+c=12③；
（2）由③可得a=3-

c

4

④，把④代入①，可得b=-4-

3

4

c⑤，然后把④⑤同时代入2a-2b-c即可求值；
（3）由于c≥a＞1，又a=3-

c

4

，可知1＜3-

c

4

＜3，解即可求出c的范围，但是a、c是大于1的正整数，且a=3-

c

4

，可求出c，从而求出a、b，比较大小即可．

解答：解：（1）根据题意得：x²+3x-4是x³+ax²+bx+c的一个因式，
∴x²+3x-4=0，即x=-4，x=1是方程x³+ax²+bx+c=0的解，
∴

a+b+c=-1① 16a-4b+c=64②

，
①×4+②得：4a+c=12③；

（2）由③得a=3-

c

4

，④
代入①得b=-4-

3

4

c⑤，
∴2a-2b-c=2（3-

c

4

）-2（-4-

3

4

c）-c=14；

（3）∵c≥a＞1，a=3-

c

4

＜c，
∴1＜3-

c

4

＜c，
解得：

12

5

≤c＜8，
∵a，c为大于1的正整数，
∴c=3，4，5，6，7，但a=3-

c

4

，a也是正整数，
∴c=4，a=2，b=-4-

3

4

c=-4-3=-7，
则c＞a＞b．

点评：此题考查的是整式的除法-多项式除以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．