Question

【题目】如图，直线与⊙相切于点为⊙的直径， 是直径右侧半圆上的一个动点(不与点、重合)，过点作，垂足为，连接、.设, .求: (1)与相似吗?为什么?

(2)求与的函数关系式;

(3)当为何值时，取得最大值，最大值为多少?

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）2.

【解析】

（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）由x2代替y，化为关于x的二次三项式，配方即可求得答案．

解：（1）△APC∽△APB，
证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，

∴ ,

∴ .

∴ （0<x<8）;

（3）x-y=x-=-(x-4)2+2,

∴当x为4时，x-y取得最大值，最大值为2．