Question

已知抛物线的顶点是C (0，a) (a>0，a为常数)，并经过点(2a，2a)，点D（0，2a）为一定点.

(1)求含有常数a的抛物线的解析式；

(2)设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD = PH；

(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S_△ABD = 4，求a的值.

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=kx²+a                

            ∵点D（2a，2a）在抛物线上，

            4a²k+a = 2a     ∴k =                      

            ∴抛物线的解析式为y= x²+a                

       （2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，

            由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=(y–2a)²+x² =y² – 4ay+4a²+x²    

                                                          

           ∵y= x²+a  ∴x² = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a²     (6分)

           ∴PD ²= y²– 4ay+4a² +4ay– 4a²= y² =PH²

           ∴PD = PH 

       （3）过B点BE ⊥ x轴，AF⊥x轴.

            由（2）的结论：BE=DB  AF=DA

            ∵DA=2DB  ∴AF=2BE  ∴AO = 2BO

            ∴B是OA的中点，

            ∴C是OD的中点，

          连结BC

          ∴BC=  =  = BE = DB              

          过B作BR⊥y轴，

          ∵BR⊥CD   ∴CR=DR，OR= a +  =  ，

          ∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上，

          ∴ = x²+a   ∴x² =2a²

          ∵x>0      ∴x = a

          ∴B (a， )                         

           AO = 2OB， ∴S_△ABD=S_△OBD = 4

         所以，´2a´a= 4

         ∴a²= 4   ∵a>0  ∴a = 2