Question

【题目】已知三角形纸片,其中, ,点分别是上的点，连接.

(1)如图1,若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处，且,求的长;

(2)如图2,若将纸片沿折叠，折叠后点刚好落在边上点处，且.

试判断四边形的形状，并说明理由;

求折痕的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）边形是菱形，见解析，

【解析】

（1）首先根据折叠的性质，得出AE=DE，AF=DF，然后根据等腰三角形三线合一的性质，得出∠AFE=90°，判定，再根据得出和的相似比为，即可得解；

（2）①由折叠和平行的性质，得出，即可判定四边形是菱形；

②首先过点作于点，由得出，得出，然后根据，得出，进而得出FN、EN，根据勾股定理，即可求出EF.

（1）根据题意，得AE=DE，AF=DF

∴根据等腰三角形三线合一的性质，得∠AFE=90°

又∵∠EAF=∠BAC，∠AEF=∠ABC

∴

又∵，

∴，

∴和的相似比为

即

又∵, ,

∴

（2）四边形是菱形

由折叠的性质，得AE=EM，AF=FM，∠AEF=∠FEM，∠AFE=∠EFM

又∵

∴∠FEM=∠AFE

∴∠AEF=∠AFE，∠FEM=∠EFM

∴，

∴四边形是菱形

过点作于点

∵

∴

∴

∵, ,

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∴，

又∵

∴

∴