Question

【题目】在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.

（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝EM；

（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；

（3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】分析:（1）先根据等角对等边证明EM=EN, 过点作 于点,则.

在Rt△EMH中，根据锐角三角函数求出MH与EM的数量关系，进而可证明结论；

（2）点M从点E出发沿射线ED运动，所以分当点M在线段ED上时与当点M在线段ED的延长线上时两种情况讨论，根据所作的辅助线，可得y与x的关系；

（3）连接CM交BD于点，可得∠NMC=90°，进而可得∽，可得，解之可得MG的长．

详解:（1）证明：∵°, ° ,

∴ °

∵ ,

∴°

∵∥,

∴

∴°,

∴

过点作 于点,则.

在中，

∴

∴

（2）在中，，

∴

∵ ∴

a.当点在线段上时，过点作于点,

在中，

由（1）可知：

,

∴

∴

∴

b.当点在线段延长线上时，过点作于点

在中， ,

在中，,

∴,

∴ ;

（3）连接,交于点.

∵为的中点 ,

∴,

∴.

∵ ,

∴,

∴,

∴,

∴.

∵∥ ,

∴,

∴ ,

,

∵ ,

∴,

又∵ ,

∴∽,

∴，即,

∴ .

点睛:本题结合矩形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握各种图形的判定与性质，．