Question

探究问题：圆内有很多关于线段的性质，如果能进行深入的探究，对提高自己的学习能力有很大的帮助。虽然这些知识看起来很复杂，摸不着头脑，但其实，我们完全可以用已经学习过的知识来得到这些新的知识。下面，就请同学们开动脑筋，积极思考，来作一个深入的探究吧。

如图所示，PT是圆O的切线，点T是切点，作线段PB与圆O相交，交点为A、B两点，连结TA、OP,OP与圆O相交于点C。

（1）探究∠ATP与∠B之间的关系（提示：过点T作直径与圆相交，连结这个交点与A点）

（2）证明：PT²=PA·PB

（3）如果线段PA=4，AB=5,CP=3，求出圆O的半径。

 

Answer 1

 解：（1）连结OT并延长交圆O于点C，连结AC.

             因为TC是直径，故∠TAC是直角，也就是∠ACT与∠CTA互余.

             又因为∠TCA和∠B所对弧相同，所以∠TCA=∠B，故∠B与∠CTA互余.                                         （4分）

             又PT是切线，所以∠CTA和∠ATP互余，所以∠ATP=∠B.

         （2）因为∠ATP=∠B，∠TP=∠BPA，所以ΔATPΔTPB，于是

              ，所以PT²=PA·PB                       （7分）

         （3）因为PA=4，AB=5，所以PB=9，从而PT²=PA·PB=4×9=36，所以PT=6. 设圆O的半径为R，又CP=3，所以OP=R+3，OT=R，根据勾股定理，有OT²+PT²=OP²，可求出R=4.5.