题目内容
如图，线段AL上有一点B，且AL=15cm，AB=3cm．点M从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AL向终点L匀速运动；与此同时，点N从点B出发，以
cm/s的速度沿线段BL向终点L匀速运动．以AM为一边在线段AL的上方作矩形AMCD，使AD=4cm；以BN为斜边在AL的上方作等腰Rt△BNE．设运动时间为t（s）．
（1）求两点B、M重合时t的值．
（2）求t=5时BM的长度．
（3）当矩形AMCD与△BNE有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形的面积S（单位：cm2）与t的函数关系式．
（4）当矩形AMCD的边与等腰Rt△BNE相交时，沿矩形AMCD的边把△BNE剪开，用得到的图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是梯形．请直接写出所有符合上述条件的t值．
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（1）求两点B、M重合时t的值．
（2）求t=5时BM的长度．
（3）当矩形AMCD与△BNE有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形的面积S（单位：cm2）与t的函数关系式．
（4）当矩形AMCD的边与等腰Rt△BNE相交时，沿矩形AMCD的边把△BNE剪开，用得到的图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是梯形．请直接写出所有符合上述条件的t值．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）运用时间=路程÷速度求解即可．
（2）利用BM═AM-AB求解．
（3）重叠（阴影）部分图形的面积S（单位：cm2）与t的函数关系式，分三种情况求解：）①当3≤t＜5时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边BE的交点为F，②当5≤t＜10时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，③当10≤t≤15时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，分别利用面积关系求解．
（4）沿矩形AMCD的边把△BNE剪开，用得到的图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是梯形，条件的t值分三种情况：①当矩形AMCD的边MC与EB中点重合时，②当矩形AMCD的边MC与EN中点重合时，③当△KEH的边KE等于△MNF的边MN时，利用方程分别求解即可．
（2）利用BM═AM-AB求解．
（3）重叠（阴影）部分图形的面积S（单位：cm2）与t的函数关系式，分三种情况求解：）①当3≤t＜5时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边BE的交点为F，②当5≤t＜10时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，③当10≤t≤15时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，分别利用面积关系求解．
（4）沿矩形AMCD的边把△BNE剪开，用得到的图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是梯形，条件的t值分三种情况：①当矩形AMCD的边MC与EB中点重合时，②当矩形AMCD的边MC与EN中点重合时，③当△KEH的边KE等于△MNF的边MN时，利用方程分别求解即可．
解答：解：（1）∵AB=3cm，M从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AL向终点L匀速运动，
∴两点B、M重合时t的值为：3÷1=3秒；
（2）∵M从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AL向终点L匀速运动，
∴t=5时．AM=5×1=5cm，
∴BM=AM-3=5-3=2cm；
（3）①如图1，当3≤t＜5时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边BE的交点为F，
∵△BFM是等腰直角三角形，BM=t-3，
∴重叠（阴影）部分三角形的高为MF=BM=t-3，
∴S=
（t-3）2，
②如图2，当5≤t＜10时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，
∵BN=
t，△EBN的高=
BN，MN=
t+3-t=3-
t，MF=MN=3-
t，
∴S=S△BNE-S△MNF=
×
t×（
×
t）-
（3-
t）2=
t2+
t-
，
③如图3，当10≤t≤15时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，
S△EKH=
×（
t-4）×2×（
t-4）=(
t-4)2，S△MNF=
（3+
t-t）2=
（3-
t）2，
S=S△BNE-S△MNF-S△EKF=
×
t×
t-(
t-4)2-
（3-
t）2=-
t2+
t-
；
（4）①当矩形AMCD的边MC与EB中点重合时，
t×
+3=t，解得t=
．
②当矩形AMCD的边MC与EN中点重合时，
t×
+3=t，解得t=
．
③当△KEH的边KE等于△MNF的边MN时，
（
t-4）=3+
t-t，解得t=
．
综上所述符合条件的t值为．t1=
，t2=
，t3=
．
∴两点B、M重合时t的值为：3÷1=3秒；
（2）∵M从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AL向终点L匀速运动，
∴t=5时．AM=5×1=5cm，
∴BM=AM-3=5-3=2cm；
（3）①如图1，当3≤t＜5时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边BE的交点为F，
∵△BFM是等腰直角三角形，BM=t-3，
∴重叠（阴影）部分三角形的高为MF=BM=t-3，
∴S=
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②如图2，当5≤t＜10时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，
∵BN=
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∴S=S△BNE-S△MNF=
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③如图3，当10≤t≤15时，矩形AMCD的边MC与△BNE的边EN的交点为F，
S△EKH=
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S=S△BNE-S△MNF-S△EKF=
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（4）①当矩形AMCD的边MC与EB中点重合时，
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②当矩形AMCD的边MC与EN中点重合时，
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③当△KEH的边KE等于△MNF的边MN时，
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综上所述符合条件的t值为．t1=
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点评：本题主要考查了相似形综合题，涉及三角形的面积，梯形的面积及方程等知识点，解题的关键是阴影部分的面积及求时间分三种情况讨论，不要漏解．
练习册系列答案
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