题目内容

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得： $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
故抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）因为C在抛物线上，
所以-2²+5×2=m，所以m=6
所以C点坐标为（2，6）
因为B，C在直线y=kx+b′上，
所以 $\text{[math]}$ ．
解得k=-3，b′=12
直线BC的解析式为y=-3x+12
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）
所以S_△OBC= $\text{[math]}$ =24

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，则要 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得m=20-3n或n=12-3m
又因为（m，n）在抛物线上，
$\text{[math]}$ ．
或 $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
或 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
故P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）和（6，-6）．
分析：（1）把A，B，C三点代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式．
（2）把点C的横坐标代入抛物线解析式，可求得纵坐标，把点C、B坐标代入一次函数解析式即可求得一次函数解析式．进而求得OG长．S_△OBC=S_△OGC+S_△OGB
（3）两三角形相似，已有两个直角相等，那么夹直角的两边对应成比例；注意对应边的不同可分两种情况进行分析．
点评：通常采用待定系数法求函数解析式；两对应边成比例且夹角相等的两三角形相似．