Question

如图，在△ABC中 BC=7cm  AC=24cm AB=25cm P点在BC上从B点向C点运动（不包括C点），点P运动速度为2cm/s，Q点在AC上从C点向A点运动（不包括A点），速度为5cm/s，若点P、Q分别从点B、C同时运动．求：
①经过多长时间，S_△PCQ=15cm²？
②何时S_△PCQ最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：①先利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形；设运动时间为x秒，利用x表示出PC、CQ的长，根据三角形的面积公式表示出△PCQ的面积，令其等于15即可列出关于x的方程，解方程即可；
②利用①中所求表达式，根据二次函数的性质求出最大值即可．

解答：解：①∵7²+24²=25²，
∴△ABC为直角三角形，
设点P、Q分别从点B、C同时运动时间为x秒，
则 S_△PCQ=

1

2

×（7-2x）×5x=-5x²+

35x

2

，
根据题意得：15=-5x²+

35x

2

，
解得：x₁=2，x₂=

3

2

．
可见，经过2秒或

3

2

秒时，S_△PCQ=15cm²．

 ②∵S_△PCQ=

1

2

×（7-2x）×5x=-5x²+

35x

2

=-5（x-

7

4

）²+

245

16

，
∴当x=

7

4

时S_△PCQ最大，最大面积是

245

16

cm²．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理、二次函数的最值及三角形的面积，用时间表示出三角形各边长度是解题的关键．