Question

已知方程x²-2x+m+2=0的两实根x₁，x₂满足|x₁|+|x₂|≤3，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：由于方程x²-2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x₁|+|x₂|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．

解答：解：根据题意可得
△=b²-4ac=4-4×1×（m+2）≥0，
解得m≤-1，
而x₁+x₂=2，x₁x₂=m+2，
①当m≤-2时，x₁、x₂异号，
设x₁为正，x₂为负时，x₁x₂=m+2≤0，
|x₁|+|x₂|=x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4-4(m+2)

≤3，
∴m≥-

13

4

，而m≤-2，
∴-

13

4

≤m≤-2；
②当-2＜m≤-1时，x₁、x₂同号，而x₁+x₂=2，
∴x₁、x₂都为正，那么|x₁|+|x₂|=x₁+x₂=2＜3，
符合题意，m的取值范围为-2＜m≤-1．
故m的取值范围为：-

13

4

≤m≤-1．

点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．同时也利用分类讨论的思想方法．