题目内容
（2009•鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=
，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=
，Q为AE上一点且QF=
，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据折叠的条件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜边大于直角边，因而EF＞EC故EO＞EC
（2）四边形CFGH与四边形CNMO的面积可以用直角△CEF的面积，可以证明四边形CFGH与四边形CNMO的面积相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C点的坐标是（0，1），易证△EFQ是等边三角形，已知QF=
就可以求出Q点的坐标，把C，Q点的坐标代入函数y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函数的解析式．
（4）过Q作y轴的垂线，已知E，Q点的坐标，可以根据三角形相似，求出OA的长，就可以求出P点的横坐标，进而求出P点的坐标．
若△PBK与△AEF相似，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐标．
解答：解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．
（2）m为定值，理由如下：
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴
．
（3）∵CO=1，
，
∴EF=EO=
，
∴cos∠FEC=
，
∴∠FEC=60°，
∴
，
∴△EFQ为等边三角形，
．
作QI⊥EO于I，EI=
，IQ=
，
∴IO=
，
∴Q点坐标为
．
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q
，m=1，
∴可求得
，c=1，
∴抛物线解析式为
．
（4）由（3），
，
当
时，
＜AB，
∴P点坐标为
，
∴BP=
AO．
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①
时，BK=
，
∴K点坐标为
或
；
②
时，
，
∴K点坐标为
或（0，1）．
故直线KP与y轴交点T的坐标为
．
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，
，
②当∠RTP=60°时，
，
∴
．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
（2）四边形CFGH与四边形CNMO的面积可以用直角△CEF的面积，可以证明四边形CFGH与四边形CNMO的面积相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C点的坐标是（0，1），易证△EFQ是等边三角形，已知QF=
就可以求出Q点的坐标，把C，Q点的坐标代入函数y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函数的解析式．（4）过Q作y轴的垂线，已知E，Q点的坐标，可以根据三角形相似，求出OA的长，就可以求出P点的横坐标，进而求出P点的坐标．
若△PBK与△AEF相似，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐标．
解答：解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．
（2）m为定值，理由如下：
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴
．（3）∵CO=1，
，∴EF=EO=
，∴cos∠FEC=
，∴∠FEC=60°，
∴
，∴△EFQ为等边三角形，
．作QI⊥EO于I，EI=
，IQ=，∴IO=
，∴Q点坐标为
．∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q
，m=1，∴可求得
，c=1，∴抛物线解析式为
．（4）由（3），
，当
时，＜AB，∴P点坐标为
，∴BP=
AO．方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①
时，BK=，∴K点坐标为
或；②
时，，∴K点坐标为
或（0，1）．故直线KP与y轴交点T的坐标为
．方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，
，②当∠RTP=60°时，
，∴
．点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
练习册系列答案
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，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
，Q为AE上一点且QF=
，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
x+1分别与x轴、y轴交于点A，点B，直线CD：y=x+b分别与x轴，y轴交于点C，点D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD=4，则点P的坐标是（ ）
）
，
）
，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
，Q为AE上一点且QF=
，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
x+1分别与x轴、y轴交于点A，点B，直线CD：y=x+b分别与x轴，y轴交于点C，点D．直线AB与CD相交于点P，已知S△ABD=4，则点P的坐标是（ ）
）
，
）