Question

7．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D．
（1）求证：BD=CD；
（2）过D作⊙O的切线交AC于E，若BC=4$\sqrt{3}$，AE=4，求sin∠AEO的值．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质证得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质得出OD⊥DE，根据中位线的性质得出OD∥AC，进一步得出DE⊥AC，∠AEO=∠EOD，根据射影定理求得CE，然后根据勾股定理求得ED，进而求得OE，解直角三角形求得sin∠EOD的值，从而求得sin∠AEO的值．

解答 解：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=0B，BD=CD，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC，∠AEO=∠EOD，
在RT△ADC中，DE⊥AC，
∴CD²=AC•CE，
∵CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，AE=4，
∴（2$\sqrt{3}$）²=（CE+4）•CE，解得CE=2，
∴AB=AC=4+2=6，
∴OD=3，
在RT△CDE中，ED=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在RT△DOE中，OE=$\sqrt{E{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴sin∠EOD=$\frac{ED}{OE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，6
∴sin∠AEO=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．