Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(－4，0)，B(0，3)，动点P从点O出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．

(1)当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；

(2)在运动过程中．

①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；

②若点D落在△ABO内部(不包括边界)时，直接写出t的取值范围；

(3)作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PC＝(4－t)，AC＝(4－t)；（2）①，②；（3）存在，或

【解析】试题分析：（1）首先求出AB，在Rt△ACP中，PA=4-t，根据sin∠OAB=，求出PC，根据cos∠OAB=，求出AC．
（2））①当D在x轴上时，由QC∥OA，得，由此即可解决问题．
②当点D在AB上时，由PQ∥AB，得，求出时间t，求出①②两种情形时的△POQ的面积即可解决问题．
（3）当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QB=QC，作QN⊥BC于N，根据cos∠ABO=，列出方程即可解决问题，当CQ′是⊙M切线时，方法类似．

试题解析：(1)如图1中，

∵OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝5．

在Rt△ACP中，PA＝4－t，

∵sin∠OAB＝，∴PC＝(4－t)，

∵cos∠OAB＝，∴AC＝(4－t)．

(2)①当D在x轴上时，如图2中，

∵QC∥OA，∴∴，

解得．

∴时，点D在x轴上．

②．

(3)如图3中，

∵Q(0，3－2t)，Q′(0，2t－3)，

当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，

∴∠QCM＝90°，∴∠QCP+∠PCM＝90°，∵∠QCP+∠QCB＝90°，

∴∠BCQ＝∠PCM＝∠CPM，

∵∠CPM+∠PAC＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，

∴∠APC＝∠OBA，∴∠QBC＝∠QCB，

∴BQ＝CQ，作QN⊥BC于N，

∵cos∠ABO＝，∴，

解得，

当CQ′是⊙M切线时，同理可得，解得．

∴或时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切．