Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)根据题意，，所以 　　解得 　　所以抛物线解析式为． 　　(2)依题意可得的三等分点分别为，． 　　设直线的解析式为． 　　当点的坐标为时，直线的解析式为； 　　当点的坐标为时，直线的解析式为． 　　(3)如图，由题意，可得．点关于轴的对称点为， 　　点关于抛物线对称轴的对称点为． 　　连结．根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长． 　　所以与轴的交点为所求的点，与直线的交点为所求的点． 　　可求得直线的解析式为． 　　可得点坐标为，点坐标为． 　　由勾股定理可求出． 　　所以点运动的最短总路径的长为．