Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．

(1)求该抛物线的解析式．

(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．

(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐

标；若存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵抛物线 过C（6，0）

∴c=-6，即y=ax²+bx-6

由，解得：a=,b=-

∴抛物线解析式为y=x²－x－6

(2)存在，设直线DC垂直平分PQ

在Rt△AOC中，AC²8²＋6²=100, ∴AC＝10=AD

∴点D在对称轴上,连接DQ, 则∠PDC＝∠QDC

∵∠PDC＝∠ ACD

∴∠QDC＝∠ ACD∴DQ∥AC,BD＝AB－AD＝10

DQ为△ABC的中位线，∴DQ＝½AC＝5

AP=AD-PD=AD-DQ=5

∴t＝5/1＝5秒

∴存在t＝5秒时，直线DC垂直平分PQ

在Rt△BOC中,BC ² =6 ²＋12 ²，BC=6,∴CQ=3

∴点Q的运动速度为3／5秒/单位长度

（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H,QH=3,PH=9

在Rt△PQH中,PQ=＝3

①当MP=MQ时，设直线CD的解析式为：y=kx+b。k≠0

解得：，∴y=3x-6

当x=1时，y=-3        ∴m₁(1,-3)

②当PQ为等腰三角形△MPQ的腰时，且p为顶点

设直线x=1上存在点M(1,y),有勾股定理得

4x²+y²=90,y=±

∴M₃(1, )M₂(1, -)

③当PQ为等腰三角形△MPQ的腰时，且Q为顶点

过点Q作QE⊥Y轴于E,交直线x=1于F,则F﹙1,-3﹚

设直线x=1上存在点M(1,y),有勾股定理得

(y+3)²+5²=90,y=-3±

∴M₄ (1, )M₅ (1, -)

综上所述：存在这样的点：m₁(1,-3) M₃(1, )M₂(1, -)，M₄ (1, )M₅ (1, -)