Question

将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第2010个图形中剩余部分的面积为

 

（图中阴影部分为挖去部分）

Answer 1

分析：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第N个图形中，会有4的n次幂个基本形；也可以看出有3的n次幂个白色三角形．那么剩余部分的面积就应该是：4的n次幂分之3的n次幂×大三角形的面积．

解答：解：观察得出规律，在第N个图形中，会有4的n次幂个基本形，
也可以看出有3的n次幂个白色三角形，
那么剩余部分的面积就应该是：4的N次幂分之3的N次幂×大三角形的面积，
根据三角形的面积是1，
那么就可以得出第2010个图形中剩余部分的面积为：4的2010次幂分之3的2010次幂×1
也就是：

32010

42010

×1，
即：(

3

4

)2010，
故答案为：(

3

4

)2010．

点评：此题考查的知识点是图形的变化类问题，关键是通过观察得到剩余部分的面积就应该是：4的n次幂分之3的n次幂×大三角形的面积．