Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由；

（2）(3分)求∠BOP的度数；

（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

Answer 1

1）BD=DC……………………………………1分

连结AD，∵AB是直径,∴∠ADB=90°……………………………………………2分

∵AB=AC，∴BD=DC……………………………………………………………3分

（2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD与弧DE是等弧，

∴BD=DE……………4分

∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE  ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°

∴∠DCE=∠ABC=(180°－30°)=75°，∴∠DEC=75°

∴∠EDC=180°－75°－75°=30°

∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分

∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45°

∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°  …………6分

（3）证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴………………7分

又∵，∴，∴

又∵∠AGO=∠CGP

∴△AOG∽△CPG…………………………………8分

∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙的切线………………………9分

证法二：过点C作CH⊥AB于点H，则∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH

在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴………………7分

又∵，∴PO=CH，∴四边形CHOP是平行四边形

∴四边形CHOP是矩形……………………………8分

∴∠OPC=90°，∴CP是⊙的切线………………………9分