Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（0，﹣4）、D（4，0），对于图形M，给出如下定义：点P为图形M上任意一点，点Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．

（1）已知点E（0，2），G（﹣1，﹣1）．

①如图1，直接写出d（点E），d（点G）的值；

②如图2，扇形EOF圆心角∠EOF=45°，将扇形EOF绕点O顺时针旋转α角（0＜α＜180°）得到扇形E'OF'，当d（扇形E'OF'）取最大值时，求α角的取值范围；

（2）点P为平面内一动点，且满足d（点P）=6，直接写出OP长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①d(点E)=6，d(点G)；②45°＜α＜90°或135°＜α＜180°；（2）2≤OP≤．

【解析】

(1)①根据“正方距”的定义，d(点E)=EC，d(点G)=GA．
②观察图象可知当扇形OE′F′与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d(扇形E′OF′)取最大值，由此写出α的范围即可．
(2)如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧(红线)，当点P在图中红线上时，d(点P)=6，求出OP的最大值以及最小值即可解决问题．

(1)①如图1中，连接AG．

由题意：d(点E)=EC=6，d(点G)=GA．

②观察图象可知当扇形OE'F'与x轴的正半轴或y轴的负半轴有交点时，d(扇形E'OF')取最大值，

所以45°＜α＜90°或135°＜α＜180°时，满足条件．

(2)如图3中，分别以A，B，C，D为圆心，6为半径画弧，得到图中的4条弧(红线)，当点P在图中红线上时，d(点P)=6，

设图中P(m，m)．

∵PB=6，

∴m2+(4+m)2=36，

解得：m=﹣2或﹣2(舍弃)，

∴P(﹣2，﹣2)，

∴OP的最大值=OPm=﹣22，

∵OP的最小值=OP'=2，

∴2≤OP≤﹣22．