题目内容
如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D。
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）
∵二次函数的图像经过点A（-1，0），B（4，5）
∴
解得：b=-2，c=-3；
（2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5）
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E（t，t+1），则F（t，
）
∴EF=
=
∴当
时，EF的最大值为
∴点E的坐标为（
，
）。
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD
可求出点F的坐标（
，
），
点D的坐标为（1，-4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF
=
=
；
②（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，
）
则有：
解得：
，
∴
， 
；
（ii）过点F作b⊥EF交抛物线于
，设
（n，
）
则有：
解得：
，
（与点F重合，舍去）
∴
综上所述：所有点P的坐标：
，
，
能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形。
∵二次函数的图像经过点A（-1，0），B（4，5）
∴
解得：b=-2，c=-3；
（2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5）
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E（t，t+1），则F（t，
）∴EF=
=
∴当
时，EF的最大值为∴点E的坐标为（
，）。（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD
可求出点F的坐标（
，），点D的坐标为（1，-4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF
=
=
；②（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，
） 则有：
解得：
，∴
， ；（ii）过点F作b⊥EF交抛物线于
，设（n，）则有：
解得：
，（与点F重合，舍去）∴
综上所述：所有点P的坐标：
，，能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形。
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．