Question

已知：如图，直线y=

1

3

x与双曲线y=

k

x

交于A、B两点，且点A的坐标为（6，m）．点C（n，4）在双曲线y=

k

x

上，
（1）求双曲线y=

k

x

的解析式；     
（2）求△AOC的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△COP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=

1

3

x与双曲线y=

k

x

交于A、B两点，且点A的坐标为（6，m），将A点坐标代入直线解析式得出m的值，再将A点代入反比例函数解析式，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．
（2）过点C，A作CD⊥y轴，CF⊥x轴，AE⊥x轴，垂足为D，F，E，利用A，C坐标即可得出矩形CDOF，梯形ACFE的面积．
（3）应先求出OC的距离，然后根据：OC=OP，OC=CP，OP=CP，分情况讨论解决．

解答：解：（1）∵直线y=

1

3

x与双曲线y=

k

x

交于A、B两点，点A的坐标为（6，m），
∴将（6，m）代入y=

1

3

x得：
m=

1

3

×6=2，
∴点A的坐标为：（6，2），
将A点代入解析式y=

k

x

得：
k=12，
则双曲线y=

k

x

的解析式为：y=

12

x

，

（2）将点C（n，4）代入y=

12

x

得：
4=

12

n

，
解得：n=3，
则C点坐标为：（3，4），
则CD=3，CF=4，EF=6-3=3，AE=2，
则矩形CDOF的面积为：CD×CF=3×4=12，
梯形ACFE的面积为：

1

2

（AE+CF）×EF=

1

2

×（2+4）×3=9，
△OCD面积为：

1

2

×DO×CD=

1

2

×3×4=6，
△AOE面积为：

1

2

×AE×EO=

1

2

×2×6=6，
则△AOC的面积为：矩形CDOF的面积+梯形ACFE的面积-△OCD面积-△AOE面积=12+9-6-6=9；

（3）①当OC为腰时，由OC=OP₁=5，得P₁（-5，0），
由OC=CP₂得P₂（6，0）；
由OC=OP₃得P₃（5，0）．
②当OC为底时，做OC的垂直平分线与x轴的交点为（

25

6

，0），
∴符合条件的点有4个，分别是（-5，0），（6，0），（5，0）（

25

6

，0）．

点评：本题考查了反比例函数的综合，利用图象上点的坐标性质得出K的值，进而得出A，C坐标是解题关键．