题目内容
（2010•浦东新区二模）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数
图象上的一点，且△ABP是直角三角形．（1）求点P的坐标；
（2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；
（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图象与y轴交于点C，过该函数图象上的点C，点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．
【答案】分析：（1）先求得B点坐标，再分析△ABP满足是直角三角形时P点的情况，可分为AB为直角边和AB为斜边两种情况作答．
（2）对（1）求得的P点坐标分别讨论是否满足二次函数抛物线，求得二次函数的解析式．
（3）由点的坐标可证得△PBD∽△APD，则∠BPD与∠BAP满足相等．
解答：
解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），
由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，
∴点P坐标是（2，1）；
（ii）当∠APB=90°时，PA2+PB2=AB2，
即（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=16①．
又由
，可得y2=
，
代入①解得：
（负值不合题意，舍去）．
当
时，
．
∴点P点坐标是（
，
）．
综上所述，点P坐标是（2，1）或（
，
）．
（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；
（ii）当点P的坐标为（
，
）时，代入A、B、P三点的坐标，
解得：
∴所求的二次函数解析式为
．
（3）∠BPD=∠BAP．
证明如下：
∵点C坐标为（0，
），
∴直线PC的表达式为
．
∴点D坐标为（
，0）．
∴PD=2，BD=
，AD=
．
，
∴
．
∵∠PDB=∠ADP，
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，重点是求解函数的解析式．
（2）对（1）求得的P点坐标分别讨论是否满足二次函数抛物线，求得二次函数的解析式．
（3）由点的坐标可证得△PBD∽△APD，则∠BPD与∠BAP满足相等．
解答：
解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．设点P的坐标为（x，y），
由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．
（i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，
∴点P坐标是（2，1）；
（ii）当∠APB=90°时，PA2+PB2=AB2，
即（x+2）2+y2+（x-2）2+y2=16①．
又由
，可得y2=，代入①解得：
（负值不合题意，舍去）．当
时，．∴点P点坐标是（
，）．综上所述，点P坐标是（2，1）或（
，）．（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；
（ii）当点P的坐标为（
，）时，代入A、B、P三点的坐标，解得：
∴所求的二次函数解析式为
．（3）∠BPD=∠BAP．
证明如下：
∵点C坐标为（0，
），∴直线PC的表达式为
．∴点D坐标为（
，0）．∴PD=2，BD=
，AD=．，∴
．∵∠PDB=∠ADP，
∴△PBD∽△APD．
∴∠BPD=∠BAP．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，重点是求解函数的解析式．
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