Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥BC，OA•AB=BC•OD，连接OC，
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）⊙O的半径为3，AD=3

3

，若用图中阴影部分所表示的扇形OAC作侧面围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径长．

Answer 1

考点：切线的判定,圆锥的计算

专题：

分析：（1）证△AOD∽△CBA，推出∠D=∠BAC，求出∠OAD=90°，根据切线判定推出即可；
（2）解直角三角形求出∠AOD，求出∠AOC，求出弧长，即可求出答案．

解答：解：（1）直线AD是⊙O的切线，
理由是：∵OD∥BC，
∴∠AOD=∠B，
∵OA•AB=BC•OD，
∴

OA

BC

=

OD

AB

，
∴△AOD∽△CBA，
∴∠D=∠BAC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=∠B，
∴∠D+∠AOD=90°，
∴∠OAD=90°，
∴直线AD是⊙O的切线；

（2）∵∠OAD=90°，OA=3，AD=3

3

，
∴tan∠AOD=

AD

AO

=

3

，
∴∠AOD=60°=∠B，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B=60°，
∴∠AOC=60°+60°=120°，
∴弧AC的长是

120π×3

180

=2π，
设圆锥的底面半径是r，则2πr=2π，
解得：r=1．

点评：本题考查了切线的判定，解直角三角形，弧长公式，圆周角定理的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．