题目内容

在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线y=
1
2
x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，∠ABC的平分线交AC于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若P从点A出发以每秒
5
个单位长度的速度向终点B运动，过点P作x轴的平行线交BD于点E，交BC于点F，设线段EF的长为y，点P运动的时间为t（t＞0）秒，求y与t之间的函数关系式，不需写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，设同时经过B，C，D三点的圆交AB于B，G两点，当t为何值时有EF=
5
3
PG？
分析：（1）由直线y=
1
2
x+6交x轴于点A，交y轴于点B，易求得点A与B的坐标，过点D作DH⊥AB于点H，又由BC⊥AB，∠ABC的平分线交AC于点D，易证得HD=HB，然后由勾股定理即可求得AD的长，继而可求得点D的坐标；
（2）由平行线的性质与相似三角形的判定与性质，即可证得
BP
BA
=
EF
DC
，继而可求得y与t之间的函数关系式；
（3）首先连接DG，CG，由圆周角定理，即可证得DG=CD，继而可求得AG的长，然后分别从0＜t＜5与5＜t＜6时去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵直线y=
1
2
x+6交x轴于点A，交y轴于点B，
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=-12，
∴A（-12，0），B（0，6），
∴OA=12，OB=6，
∵BC⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
过点D作DH⊥AB于点H，
则∠HDB=180°-∠DHB-∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HDB，
∴HD=HB，
在Rt△AHD和Rt△ABO内，tan∠BAO=
DH
HA
=
OB
AO
=
6
12
=
1
2
，
∴AH=2HD=2BH，
在Rt△ABO中，AB=
OA2+OB2
=6
5
，
∴AH+BH=6
5
，
∴AH=4
5
，BH=HD=2
5
，
在Rt△ADH中，AD=
AH2+HD2
=
(4
5
)2+(2
5
)2
=10，
∴OD=2，
∴D（-2，0）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠OBC=∠BAO，
∴tan∠OBC=tan∠BAO=
1
2
，
在Rt△CBO中，tan∠OBC=
OC
OB
=
1
2
，OB=6，
∴OC=3，
∴DC=OD+OD=5，
∵PE∥AD，
∴
BP
BA
=
BE
BD
，
∵PF∥AC，
∴△BEF∽△BDC，
∴
BE
BD
=
EF
DC
，
∴
BP
BA
=
EF
DC
，
∵AP=
5
t，
∴BP=AB-AP=6
5
-
5
t，
∴
6
5
-
5
t
6
5
=
y
5
，
∴y=-
5
6
t+5；

（3）连接DG，CG，
∵∠GBC=90°，
∴CG为同时经过B，C，D三点的圆的直径，
∴∠GDC=90°，
∵∠GBD与∠GCD是
GD
所对的圆周角，
∴∠GCD=∠GBD=45°，
∴∠DGC=180°-∠DCG-∠GDC=45°，
∴∠GCD=∠DGC，
∴GD=DC=5，
∵AD=10，
在Rt△ADG中，AG=
AD2+DG2
=
52+102
=5
5
，
∴当0＜t＜5时，PG=5
5
-
5
t，
∵EF=
5
3
PG，
∴-
5
6
t+5=
5
3
（5
5
-
5
t），
解得：t=4；
当5＜t＜6时，PG=
5
t-5
5
，
∵EF=
5
3
PG，
∴-
5
6
t+5=
5
3
（
5
t-5
5
），
解得：t=
16
3
；
∴当t=4或t=
16
3
时有EF=
5
3
PG．
点评：此题考查了一次函数的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
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