Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=2

2

，CM：BM=1：3，求CM、AB的长．

Answer 1

分析：首先连接AM，由MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=BM，又由CM：BM=1：3，可设CM=x，则AM=3x，然后由△ABC中，∠C=90°，AC=2

2

，由勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得CM的长，继而求得AB的长．

解答：解：连接AM，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵CM：BM=1：3，
∴CM：AM=1：3，
设CM=x，则AM=3x，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2

2

，
∴（3x）²=x²+（2

2

）²，
解得：x=1，
∴CM=1，AM=BM=3，
∴BC=CM+BM=4，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=2

6

．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．