题目内容
如图AB是半圆O的直径，点C、D在AB上，且AD平分∠CAB，已知AB=10，AC=6，则AD=（ ）| A、8 | ||
| B、10 | ||
C、2
| ||
D、4
|
分析：本题可通过构建相似三角形求解，设AD与BC交于F，过F作FE⊥AB于E．根据角平分线的性质定理求出CF=FE，再用勾股定理求出各线段的长，结合相似三角形的性质解题．
解答：
解：过F作EF⊥AB于E，设FE=FC=x；
∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FE⊥AB；
∴AE=AC=6；
在Rt△ABC中，BC=
=8，BF=8-x．
在Rt△FBE中，x2+（10-6）2=（8-x）2，解得x=3，BF=5．
∵AF=
=3
，△ACF∽△BDF；
设FD=y，故
=
，解得y=
．AD=3
+
=4
．
故选D．
解：过F作EF⊥AB于E，设FE=FC=x；∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FE⊥AB；
∴AE=AC=6；
在Rt△ABC中，BC=
| 102-62 |
在Rt△FBE中，x2+（10-6）2=（8-x）2，解得x=3，BF=5．
∵AF=
| 32+62 |
| 5 |
设FD=y，故
3
| ||
| 5 |
| 3 |
| y |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
故选D．
点评：本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．
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