题目内容

阅读下列材料：
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA= $数学公式$ ，PB= $数学公式$ ，PC=1，求∠BPC的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
（1）图2中∠BPC的度数为；
（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA= $数学公式$ ，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为__．

解：（1）如图2．
∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=90°，BP′=BP= $\text{[math]}$ ，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
∴PP′= $\text{[math]}$ PB=2，∠BP′P=45°，
在△APP′中，AP= $\text{[math]}$ ，PP′=2，AP′=1，
∵（ $\text{[math]}$ ）²=2²+1²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°
∴∠BP′A=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如图3．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
过B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，
∴BH= $\text{[math]}$ BP′=2，P′H= $\text{[math]}$ BH=2 $\text{[math]}$ ，
∴P′P=2P′H=4 $\text{[math]}$ ，
在△APP′中，AP=2 $\text{[math]}$ ，PP′=4 $\text{[math]}$ ，AP′=2，
∵（2 $\text{[math]}$ ）²=（4 $\text{[math]}$ ）²+2²，
∴AP²=PP′²+AP′²，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠BPC=120°，
过A作AG⊥BP′于G点，
∴∠AP′G=60°，
在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，
∴GP′= $\text{[math]}$ AP′=1，AG= $\text{[math]}$ GP′= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，
AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
即正六边形ABCDEF的边长为2 $\text{[math]}$ ．
故答案为135°；120°， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据旋转的性质得到∠P′BP=90°，BP′=BP= $\text{[math]}$ ，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则△BPP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′= $\text{[math]}$ PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，则∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；
（2）把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH= $\text{[math]}$ BP′=2，P′H= $\text{[math]}$ BH=2 $\text{[math]}$ ，得到P′P=2P′H=4 $\text{[math]}$ ，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；过A作AG⊥BP′于G点，利用含30°的直角三角形三边的关系得到GP′= $\text{[math]}$ AP′=1，AG= $\text{[math]}$ GP′= $\text{[math]}$ ，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可计算出AB长．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系．