Question

已知△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，以AB为边向外作等腰Rt△ABD，则CD=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：分类讨论（1）AB=BD，（2）AB=AD，（3）AD=BD，分别计算CD的值，即可解题．

解答：解：（1）作出图形，作DE⊥BE，

∵∠CAB+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
在△BED和△ACB中，

∠E=∠ACB=90° ∠CAB=∠DBE AB=BD

，
∴△BED≌△ACB（AAS），
∴BE=AC=4，DE=BC=2，
∴CD=

62+22

=2

10

；
（2）作出图形，作DE⊥AE，

∵∠CAB+∠ABC=90°，∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
在△DEA和△ACB中，

∠E=∠ACB=90° ∠ABC=∠DAE AB=AD

，
∴△DEA≌△ACB，（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CD=

62+22

=2

10

；
（3）作出图形，作DE⊥AC，DF⊥CB延长线于F，

∵∠ADE+∠BDE=90°，∠BDF+∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，

∠F=∠AED=90° ∠ADE=∠BDF AD=BD

，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE=BF，
∴AC+BC=AE+CE+CF-BF=2CE．
∴CE=3，
∴CD=3

2

．
故答案为：2

10

或3

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BED≌△ACB、△DEA≌△ACB和△ADE≌△BDF是解题的关键．