Question

如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）BD的长是

8

3

；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是

4

3

．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD与点O，因为菱形ABCD中，∠ABC=60°，可知△ABC为等边三角形，AC=AB=8，根据菱形性质求出AO长，OB=OD，AC⊥BD，根据勾股定理求出BO，即可求出BD；
（2）延长FP交BC于点M，FM⊥BC．根据角平分线的性质求得PM=PE，由菱形的面积求得FM的长度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小，求出此时PB的长即可．

解答：解：（1）连接AC，交BD与点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，AC=AB=8，
根据菱形性质得：AO=CO=

1

2

AC=4，OB=OD，AC⊥BD，
根据勾股定理得：BD=2OB=2×

82-42

=8

3

；

（2）延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．

∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM，
又∵S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=BC•FM，
∴

1

2

×8×8

3

=8•FM，即FM=4

3

，
∴要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．
当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．
此时PB=BO=DO=

1

2

BD=4

3

．
故答案为：8

3

；4

3

．

点评：本题考查菱形的性质，第一问的解题关键是利用菱形的性质得出△ABC为等边三角形；第二问的解题关键是利用轴对称的性质得出PE+PF=PF+PM=FM，此题有一定的难度．