题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤
， ＜x≤m时，函数的解析式不同）．
（1）填空：n的值为___；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【答案】
（1）
解：如图1，
，
当x=
时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，
∵PQ=，QR=PQ，
∴QR=,
∴n=S=
×（）2=×
=
．
（2）
解：如图2，
，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：
当0＜x≤时，
S=×PQ×RQ=x2，
当点Q点运动到点A时，
x=2AD=4，
∴m=4．
当＜x≤4时，
S=S△APF﹣S△AQE=APFG﹣AQEQ，
AP=2+
，AQ=2﹣，
∵△AQE∽△AQ1R1，
，
∴QE=
（2﹣），
设FG=PG=a，
∵△AGF∽△AQ1R1，
，
∴AG=2+﹣a，
∴a=
（2
），
∴S=S△APF﹣S△AQE
=APFG﹣AQEQ
=（2）
（2）﹣（2﹣）（2﹣）
=﹣
x2+
∴S=﹣x2+．
综上，可得
S=
【解析】（1）当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据PQ= ， QR=PQ，求出n的值是多少即可．
（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤时，S=×PQ×RQ=x2 ， 判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可．
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