题目内容
如图，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP=4| 3 |
PQ上，B、C在边QO上（B点在C点的左侧），且∠ABC=60°．设BQ=x．（1）试用含x的代数式表示菱形ABCD的边长；
（2）当点D在线段OP上时，求x的值；
（3）设菱形ABCD与△OPQ重合部分的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（4）连接PD、OD．对于不同的x值，请你比较线段OD与PD的大小关系，直接写出结论．
分析：（1）易得，∠Q=30°，∠ABC=60°，由三角形外角定理可得∠QAB=∠Q=30°，进而可得BA=BQ，即可得答案；
（2）根据题意，可得Rt△DCO中，有∠DCO=60°，CD=x，借助菱形的性质，可得QO=QB+BC+CO，代入数据可得答案；
（3）过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，当0＜x≤
时，y=x×
x=
x2，进而代入数据分析可得答案；
（4）作OP的中垂线，结合垂直平分线的性质，可得答案．
（2）根据题意，可得Rt△DCO中，有∠DCO=60°，CD=x，借助菱形的性质，可得QO=QB+BC+CO，代入数据可得答案；
（3）过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，当0＜x≤
| 24 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（4）作OP的中垂线，结合垂直平分线的性质，可得答案．
解答：
解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；（2分）
（2）如图①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=
x，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+
x
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4
，
∴QO=12．∴
x=12
x=
；（2分）
（3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=
x
∴当0＜x≤
时，
y=x×
x=
x2（2分）
如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=
-12，EF=
(
-12)?
?当
＜x≤6时?，
y=
x2-
（
-12）2=-
x2+30
x-72
；
（4）如图③，作OP的中垂线
当0＜x＜4时，OD＜DP；
当x=4时，OD=DP；
当4＜x≤6时，OD＞DP．
解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；（2分）
（2）如图①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=
| 1 |
| 2 |
∴QO=QB+BC+CO=x+x+
| 1 |
| 2 |
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4
| 3 |
∴QO=12．∴
| 5 |
| 2 |
x=
| 24 |
| 5 |
（3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=
| ||
| 2 |
∴当0＜x≤
| 24 |
| 5 |
y=x×
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=
| 5x |
| 2 |
| 3 |
| 5x |
| 2 |
?当
| 24 |
| 5 |
y=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 5x |
| 2 |
21
| ||
| 8 |
| 3 |
| 3 |
（4）如图③，作OP的中垂线
当0＜x＜4时，OD＜DP；
当x=4时，OD=DP；
当4＜x≤6时，OD＞DP．
点评：本题考查菱形的性质，注意根据菱形的性质，得到函数的关系，进而分析函数求解．
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