题目内容

如图，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP= $数学公式$ ．四边形ABCD是菱形，点A在边PQ上，B、C在边QO上（B点在C点的左侧），且∠ABC=60°．设BQ=x．
（1）试用含x的代数式表示菱形ABCD的边长；
（2）当点D在线段OP上时，求x的值；
（3）设菱形ABCD与△OPQ重合部分的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（4）连接PD、OD．对于不同的x值，请你比较线段OD与PD的大小关系，直接写出结论．

解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；

（2）如图①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO= $\text{[math]}$ ，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+ $\text{[math]}$
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4 $\text{[math]}$ ，
∴QO=12．∴ $\text{[math]}$ =12
x= $\text{[math]}$ ；

（3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH= $\text{[math]}$
∴当0＜x≤ $\text{[math]}$ 时，
y=x× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF= $\text{[math]}$ ，EF= $\text{[math]}$ ?
当 $\text{[math]}$ ＜x≤6时，

y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -12）²=- $\text{[math]}$ x²+30 $\text{[math]}$ x-72 $\text{[math]}$ ；

（4）如图③，作OP的中垂线
当0＜x＜4时，OD＜DP；
当x=4时，OD=DP；
当4＜x≤6时，OD＞DP．
分析：（1）易得，∠Q=30°，∠ABC=60°，由三角形外角定理可得∠QAB=∠Q=30°，进而可得BA=BQ，即可得答案；
（2）根据题意，可得Rt△DCO中，有∠DCO=60°，CD=x，借助菱形的性质，可得QO=QB+BC+CO，代入数据可得答案；
（3）过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，当0＜x≤ $\text{[math]}$ 时，y=x× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进而代入数据分析可得答案；
（4）作OP的中垂线，结合垂直平分线的性质，可得答案．
点评：本题考查菱形的性质，注意根据菱形的性质，得到函数的关系，进而分析函数求解．