Question

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．

(1)    求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)    如果AB=AD，且AH=AE，

求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，

又∵AE=CG，AH=CF，

∴△AEH≌△CGF． 

∴．

在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∴，，

即，．

又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．

∴． 

∴四边形EFGH是平行四边形

（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．

设，则．

∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH = AE = CG，

∴，即．∴∠DHG=∠DGH=．

∴∠EHG=∠AHE．

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是矩形．

解法二：联结BD，AC．

∵AH=AE，AD = AB，

∴，∴HE∥BD，

同理可证，GH∥AC，

∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∴∠EHG．

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是矩形．