Question

 已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．求证：AB=CD．

Answer 1

证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=∠BAC，
∵BC⊥AF，点D与点A关于点E对称，
∴BC是AD的垂直平分线，
∴AC=CD，
∵∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠ACE，
∴AB=AC，
∴AB=CD．
分析：根据角平分线的定义可得∠CAD=∠DAB=∠BAC，然后求出BC是AD的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AC=CD，再利用直角三角形两锐角互余求出∠ABE=∠ACE，然后根据等角对等边求出AB=AC，从而得证．
点评：本题考查了三角形的角平分线，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并求出AB、CD都与AC相等是解题的关键．