Question

在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过A作AD⊥BP于D，交直线BC于Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ．
（2）当P在线段AC的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ．
（3）如图3，当P在线段AC的延长线上时，∠DBA=

∠P

时，AQ=2BD．

Answer 1

分析：（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）首先证明△APC≌△BQC（ASA），进而得出PC=CQ，利用等腰三角形的性质得出即可；
（3）首先证明∠P=∠Q，进而得出△ACQ≌△BCP（ASA），即可得出BP=AQ，求出即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中

∠QCA=∠PCB CA=CB ∠CAQ=∠CBP

，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）解：如图2所示：
∵∠ACP=∠BDP=90°，∠APC=∠BPD，
∴∠CAP=∠DBP，
在△APC和△BQC中

∠ACP=∠BCQ CA=CB ∠CAP=∠CBQ

，
∴△APC≌△BQC（ASA），
∴PC=CQ，
∵∠PCD=90°，
∴∠CPQ=∠CQP=45°；

（3）解：当∠DBA=∠P时，AQ=2BD；
∵∠DBA=∠P，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴AD=DP，
∵∠ACQ=∠ADP=90°，∠PAD=∠QAC，
∴∠P=∠Q，
在△ACQ和△BCP中

∠QCA=∠PCB CA=CB ∠Q=∠P

，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ，
∴此时AQ=BP=2BD．
故答案为：∠P．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理等知识，根据题意得出全等三角形是解题关键．