Question

在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是

 

．

Answer 1

分析：过D作DF⊥AC，利用相似三角形的性质及三角形的面积公式可得出EF关于x的表达式，进而在RT△DEF中，用x表示DE，求出代数式的最小值即可求出线段的最小长度．

解答：解：∵BC²+AC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
过D作DF⊥AC于F，设DF=x，则

x

5

=

AF

12

，
∴AF=

12

5

x，
∵S_△ADE=

1

2

x•AE=

1

2

S_△ABC=15，
∴AE=

30

x

，EF=

30

x

-

12

5

x，
∴DE²=DF²+EF²=x²+（

30

x

-

12

5

x）²=

169

25

x²+

900

x2

-144=（

13

5

x-

30

x

）²+12≥12，
故可得DE²最小值是12，
∴DE最小值为2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，解答本题关键点有两点，①利用三角形的面积公式求出AE，然后表示出EF；②掌握完全平方式的非负性并能熟练运用，同学们要注意培养自己化简求最值的能力．