Question

已知CE与⊙O相切于点C，点A在⊙O上，AE⊥CE于E，OE交⊙O于点F
（1）如图（1），若EF=1，CE=3，求sin∠OEA的值；
（2）若tan∠ECF=

1

2

，求sin∠OEA的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，在Rt△OCE中可求得OC，又OC∥AE，可求得∠OEA=∠EOC，在Rt△OCE中可求得sin∠EOC，则可得出答案；
（2）连接OC，延长EO交⊙O于点M，连接CM，则可证明△CEF∽△MEC，可求得ME=2CE=4EF，可求得CE：OE，同（1）可求得答案．

解答：解：（1）如图1，连接OC，

∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
又∵AE⊥CE，
∴OC∥AE，
∴∠OEA=∠EOC，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得OC²+CE²=OE²，
即OC²+3²=（OF+EF）²=（0C+1）²，解得OC=4，
∴OE=4+1=5，
在Rt△OEC中，sin∠EOC=

CE

OE

=

3

5

，
∴sin∠OEA=

3

5

；
（2）如图2，连接OC，延长EO交⊙O于点M，连接CM，

∵CE是⊙O的切线，MF为⊙O的直径，
∴OC⊥CE，MC⊥CF，
∴∠MCO+∠OCF=∠OCF+∠FCE，
∴∠MCO=∠FCE，
又∵OM=OC，
∴∠M=∠MCO，
∴∠M=∠FCE，且∠E=∠E，
∴△CEF∽△MEC，
又∵tan∠ECF=

1

2

，
∴

CF

CM

=

CE

ME

=

EF

CE

=

1

2

，
∴ME=2CE=4EF，
∴MF=3EF，则OF=

3

2

EF，
∴OE=

5

2

EF，
∴sin∠EOC=

CE

OE

=

2EF

5 2 EF

=

4

5

，
同（1）可得sin∠OEA=sin∠EOC=

4

5

．

点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定和性质，在（1）中证得角相等是解题的关键，在（2）中利用正切值，求得线段的比得到OE和CE的关系是解题的关键．