Question

如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标是（2，0），∠ABO=30°．在坐标平面内，是否存在点P（除点O外），使得△APB与△AOB全等．请写出所有符合条件的点P的坐标________．

Answer 1

（0，0）或（2，2）或（-1，）或（3，）
分析：根据题意分为四种情况，画出图形，根据全等三角形性质和含30度角的直角三角形性质，勾股定理求出即可．
解答：∵点A的坐标是（2，0），∠ABO=30°，
∴OA=2，AB=2AO=4，由勾股定理得：OB=2，
分为四种情况：①当P和O重合时，符合条件，此时P的坐标是（0，0）；
②
如图1，此时PB=OA=2，PA=OB=2，
即P的坐标是（2，2）；
③
如图2，过P作PM⊥OA于M，
则∠PAM=60°-30°=30°，
∴PM=AP=OB=，
AM=PM=3，
∴OM=3-2=1，
∴P的坐标是（-1，）；
④
如图3，过P作PM⊥OA于M，
则∠PAM=180°-60°-60°=60°，
∴∠APM=30°，
∴AM=AP=OA=1，
∴PM=AM=，OM=1+2=3，
∴P的坐标是（3，），
故答案为：（0，0）或（2，2）或（-1，）或（3，）．
点评：本题考查了全等三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，注意要进行分类讨论啊．