Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∠ACD=30°，AB=12，BC=10，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】分析：如图，过点B作BE⊥AC于E，把△ABC分割成两个直角三角形，然后解直角三角形ABE，求出AE、BE，再利用勾股定理在Rt△BEC求出CE，这样就求出AC，最后在Rt△ADC中解直角三角形就可以求出AD，再利用三角函数求出DC的长，从而求出四边形ABCD的周长．
解答：解：如图，过点B作BE⊥AC于E，则∠AEB=∠BEC=90°．
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠ACD=30°．
又∵AB=12，
∴EB=AB=6，AE=AB•cos30°=6，
在Rt△BEC中，∠BEC=90°，
∴CE==8，
∴AC=AE+EC=6+8，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=30°，
∴AD=AC=3+4，DC=AC•cos30°=（6+8）×=9+4，
∴四边形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=3+4+9+4+10+12=35+7．
点评：本题考查了梯形的性质、勾股定理的运用以及特殊角的锐角三角函数，解题的关键是把解直角三角形和勾股定理的计算和梯形的知识结合起来，利用三角形的知识解决梯形的问题．