题目内容
若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝
，x1•x2＝
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝
。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
【答案】
（1）4（2）12
【解析】解：（1）当△ABC为直角三角形时，
过C作CE⊥AB于E，
则AB＝2CE。
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，
则|b2－4ac|＝b2－4ac。
∵a＞0，∴AB
。
又∵CE
，∴
。
∴
，即
。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4。
（2）当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝
AB，
∴
。
∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12。
（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB
，根据顶点坐标公式，得到CE
，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AB，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值。
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．我们把它们称为根与系数关系定理．
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