题目内容

定理：若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=-m，x1x2=n．请用这一定理解决问题：已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2+2=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=8，求k的值．
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2（k+1），x1x2=k2+2，代入（x1+1）（x2+1）=8，即x1x2+（x1+x2）+1=8代入即可得到关于k的方程，可求出k的值，再根据△与0的关系舍去不合理的k值．
解答：解：由已知定理得：x1x2=k2+2，x1+x2=2（k+1）．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=k2+2+2（k+1）+1=8．
即k2+2k-3=0，
解得：k1=-3，k2=1．
又∵△=4（k+1）2-4（k2+2）≥0．
解得：k≥
1
2
，故k=-3舍去．
∴k的值为1．
点评：解题时不要只根据（x1+1）（x2+1）=8，求出k的值，而忽略△与零的关系．
练习册系列答案
相关题目
有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=-
b
a
、x1•x2=
c
a
，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1．
若x1、x2是方程x2+mx-2m=0的两个根．（其中m≠0）试求：
（1）x1+x2与x1•x2的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）．[提示：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2]
（3）若
x1
x2
+
x2
x1
=1，试求m的值．
有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个实数根，则x1+x2=-
b
a
、x1•x2=
c
a
，这个定理叫做韦达定理． 如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个实数根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1． 若x1，x2是方程2x2+(m-1)x-
1
2
m=0的两个实根．试求：
（1）x1+x2与x1•x2的值（用含有m的代数式表示）；
（2）
x
2
1
+
x
2
2
的值（用含有m的代数式表示）；
（3）若(x1-x2)2=1，试求m的值．
有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=-
b
a
、x1•x2=
c
a
，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1．
若x1、x2是方程2x2+mx-2m+1=0的两个根．试求：
（1）x1+x2与x1•x2的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）．
（3）若（x1-x2）2=2，试求m的值．
定理：若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=-m，x1x2=n．请用这一定理解决问题：已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2+2=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=8，求k的值．

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