题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=
．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
【答案】分析：（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．
（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=
AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=
；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-
；
∴抛物线：y=-
x2+
x+4．
（2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直线AB：y1=-
x-
；
由（1）得：y2=-
x2+
x+4，则：
，
解得：
，
；
由图可知：当y1＜y2时，-2＜x＜5．
（3）∵S△APE=
AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=-
x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
-
x+b=-
x2+
x+4，且△=0；
求得：b=
，即直线L：y=-
x+
；
可得点P（
，
）．
由（2）得：E（5，-
），则直线PE：y=-
x+9；
则点F（
，0），AF=OA+OF=
；
∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=
×
×（
+
）=
．
综上所述，当P（
，
）时，△PAE的面积最大，为
．
点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．
（2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分．
（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=
AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=
；Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-
；∴抛物线：y=-
x2+x+4．（2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直线AB：y1=-x-；由（1）得：y2=-
x2+x+4，则：，解得：
，；由图可知：当y1＜y2时，-2＜x＜5．
（3）∵S△APE=
AE•h，∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=-
x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，-
x+b=-x2+x+4，且△=0；求得：b=
，即直线L：y=-x+；可得点P（
，）．由（2）得：E（5，-
），则直线PE：y=-x+9；则点F（
，0），AF=OA+OF=；∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=
××（+）=．综上所述，当P（
，）时，△PAE的面积最大，为．点评：该题考查的是函数的动点问题，其中综合了特殊四边形、图形面积的求法等知识，找出动点问题中的关键点位置是解答此类问题的大致思路．
练习册系列答案
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