Question

【题目】如图，在矩形中，，，，两点分别从，同时出发，点沿折线运动，在上的速度是2/，在BC上的速度是/；点在上以2/的速度向终点运动，过点作，垂足为点．连结，以，为邻边作平行四边形．设运动的时间为（s），平行四边形与矩形重叠部分的图形面积为

（1）当⊥时，求的值；

（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；

（3）直线将矩形的面积分成1∶3两部分时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）s；（2）y= ；（3）x=或.

【解析】

（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题；
（2）分三种情形：当0＜x≤时，P在AB边上，M在矩形ABCD的内部或AD边上；当＜x≤1时，P在AB边上，M在矩形ABCD的外部；当1＜x＜2时，P在BC边上，M在矩形ABCD的外部。分别求解即可解决问题；
（3）分两种情形：当直线AM经过BC中点E时；当直线AM经过CD的中点E时。分别求解即可解决问题；

解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，

∴2x=2（2-2x），

∴x=s．

故答案为s．

（2）①如图1中，当0＜x≤时，P在AB边上，M在矩形ABCD的内部或AD边上，此时重叠部分是四边形PQMN．

y=2x×x=2x2．

②如图2中，当＜x≤1时，P在AB边上，M在矩形ABCD的外部，此时重叠部分是四边形PQEN．

y=（2-x+2x）×x=x2+x

③如图3中，当1＜x＜2时，P在BC边上，M在矩形ABCD的外部，此时重叠部分是四边形PNEQ．

y=（2-x+2）×[x-2（x-1）]=x2-3x+4；

综上所述，．

（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．

则有：tan∠EAB=tan∠QPB，

，

解得 ．

②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．

此时tan∠DEA=tan∠QPB，

，

解得 。

综上所述，当 或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．