Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，点P在AB上，点Q在AC或AC的延长线上，AQ＝AP，以AP、AQ为邻边作菱形APRQ，设AP的长为x，菱形APRQ与△ABC重影部分图形的面积为y(平方单位)，

(1)求sinA的值.

(2)当x为何值时，点R落在BC上.

(3)当菱形APRQ与△ABC重叠部分的图形为四边形时，求y与x的函数关系式.

(4)直接写出当x为何值时，经过三角形顶点的直线同时将菱形、三角形的面积二等分.

Answer 1

【答案】(1)sinA＝；(2)x＝；(3)y=﹣x2+3x+8；(4)满足条件的x的值为或.

【解析】

(1)如图1中，作CD⊥AB于D.根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出CD即可解决问题.

(2)由QR∥BC，可得＝，由此构建方程即可解决问题.

(3)分两种情形：①当0＜x≤时，重叠部分是菱形APRQ.②如图3中，当5≤x＜8时，重叠部分是四边形APMC，作MH⊥PB于H.分别求解即可.

(4)分两种情形：连接AR，PQ交于点O，当点O在△ABC的中线BM上时，满足条件.如图4中，作OH∥AB交AC于H.如图5中，当点O落在中线AD上时，满足条件.分别利用平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题.

解：(1)如图1中，作CD⊥AB于D.

∵CA＝CB＝5，CD⊥AB，

∴AD＝DB＝4，∠ADC＝90°，

∴CD＝＝＝3.

∴sinA＝＝，

(2)如图2中，当点R落在BC上时，

∵QR∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴x＝.

(3)①当0＜x≤时，重叠部分是菱形APRQ，S＝PAAQsinA＝xx＝x2.

②如图3中，当5≤x＜8时，重叠部分是四边形APMC，作MH⊥PB于H.

在Rt△MPH中，PH＝BH＝，

MH＝PHtan∠MPH＝

S＝S△ABC﹣S△PBM＝×8×5﹣(8﹣x)＝﹣x2+3x+8.

(4)连接AR，PQ交于点O，当点O在△ABC的中线BM上时，满足条件.如图4中，作OH∥AB交AC于H.

∵OQ＝OP，OH∥PA，

∴AH＝HQ＝x，OH＝PA＝x，

∵OH∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得x＝.

如图5中，当点O落在中线AD上时，满足条件.

∵OH∥AD，

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

综上所述，满足条件的x的值为或.