Question

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）．

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有　       ；

（2）请选择（1）中的一组相似三角形加以证明．

 

Answer 1

【答案】

（1）△HGA　及　△HAB　  （2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质与三角形外角的性质，易得∠GAC=∠H，然后由公共角相等，即可得△AGC∽△HGA；由∠B=∠ACG=45°，即可得△AGC∽△HAB．

（2）由等腰直角三角形的性质与三角形外角的性质，即可证得结论．

解：（1）始终与△AGC相似的三角形有△HGA及△HAB；

故答案为：△HGA、△HAB．

（2）选择：△AGC∽△HGA．

证明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，

∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，∠AGB=∠GAH+∠H，

∵∠ACB=∠GAH=45°，

∴∠GAC=∠H，

∵∠AGC=∠HGA（公共角），

∴△AGC∽△HGA．

选择：△AGC∽△HAB．

证明：∵∠AGB是△AGC和△AGH的外角，

∴∠AGB=∠GAC+∠ACB，∠AGB=∠GAH+∠H，

∵∠ACB=∠GAH=45°，

∴∠GAC=∠H，

∵∠B=∠ACG=45°，

∴△AGC∽△HAB．

考点：相似三角形的判定；等腰直角三角形；旋转的性质．

点评：此题考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．