题目内容
【题目】如图：四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=4，CD=2，BC=5，点E在BC边上自B向C运动(不与点C重合)，连接AE,过点E作AE的垂线交直线CD于F点．设BE的长为
，CF的长为
．
(1) 求
的值
(2) 求的长，(用含的代数式表示)
(3) 连接AF,在点E运动的过程中，△
的外心
点的位置也随之变化,探索：满足什么条件，外心落在四边形ABCD的边上或形外.
【答案】(1)
；(2) 
，
；(3)
或 
【解析】
（1）如图，作AE1⊥BC，根据AD=4，CD=2,得到AE1=CD=2,BE1=BC-E1C=1，故可求出
的值；
（2）E点取两个特殊的位置E1,E2,AE1⊥BC，AE2⊥DE2，以AD为直径的圆与BC相切于E2,再根据图形分0≤x≤1，与1＜x＜5两种情况，根据△CEF∽△E1AE，对于线段成比例得到x与y的关系式；
（3）如图，根据△AEF为直角三角形，△AEF的外心M为AF中点，再分E在BE1上与E在E1C上两种情况进行讨论.
（1）如图，作AE1⊥BC，
∵AD=4，CD=2,
∴AE1=CD=2,BE1=BC-E1C=1，
∴=
=2;
（2）E点取两个特殊的位置E1,E2,AE1⊥BC，AE2⊥DE2，以AD为直径的圆与BC相切于E2,
当0≤x≤BE1时，即0≤x≤1时，EE1=1-x,EC=5-x，AE1=2，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEE1+∠FEC=90°，
又∠AEE1+∠E1AE=90°，
∴∠FEC=∠E1AE
又∠AE1E=∠ECF=90°，
∴△CEF∽△E1AE，
∴
即
化简得
当E在CE1上时，即即1＜x＜5时，EE1=x-1,EC=5-x，AE1=2，
同理可得△CEF∽△E1AE，
∴
即
化简得
（3）如图，根据△AEF为直角三角形，△AEF的外心M为AF中点，
①E在BE1上，如图，若点M在BC上，此时M与E2重合，AM=MF，
∵AE1∥DF，∴CF=AE1=2
∴EE2=AE2=AE1÷cos45°=2
则此时x=BE=BE2- EE2=3-2
∴当时，CF≥AE1，外心
落在四边形ABCD的边上或形外；
②E在E1C上，当x=3时，如图，M在AD中点处，外心落在四边形ABCD的AD边上，其余M点都在四边形ABCD内部，
综上，或 外心落在四边形ABCD的边上或形外.
