Question

【题目】如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．

连接AC，AO．

∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG=BG=AB．

∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG=2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG==2，∴AB=2AG=4．

又∵CG=CO+GO=4+2=6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC==4．

∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．在Rt△ACG中，tan∠ACG==，∴∠ACG=30°，∴所对圆心角的度数为60°．

∵直径AC=4，∴的长为=π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．

故选D．